Una visión innovadora de las matemáticas
Henri Poincaré revisa a su manera cada uno de los dominios matemáticos que elige investigar. Prefiere pensar por sí mismo, redescubrir los resultados principales, hacer énfasis en el estudio cualitativo de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. En esto, hace una elección innovadora que le permite abrir vastos horizontes científicos, o renovar con creatividad, como las geometrías no euclidianas. Acumula así descubrimientos originales de los que resulta una gran y rápida notoriedad e encarna la interacción de los múltiples dominios matemáticos. Haciendo dialogar topología y geometría, abre caminos que, décadas después de su muerte, siguen siendo fecundos.
Todos los artículos de este dossier
El cálculo de probabilidades según Poincaré | Tangente
Rara vez se asocia a Poincaré con el cálculo de probabilidades. ¡Y, sin embargo! Sus escritos y su enseñanza nos informan de sus trabajos y reflexiones al respecto. Aunque no revolucionó la teoría de probabilidades, tuvo el mérito de plantear las preguntas adecuadas.
La adopción de las geometrías no euclidianas
El quinto postulado de Euclides es distinto de los demás: parece demostrable. Sin embargo, su negación conduce a otras geometrías, llamadas no euclidianas. Estas tienen su lugar en el edificio matemático y aplicaciones tanto en aritmética, como mostró Poincaré, como en relatividad general.
Poliedros: de la fórmula de Euler a la caracterización de Poincaré
¿Qué es un poliedro? A lo largo de la historia se han propuesto varias caracterizaciones, refutadas periódicamente por la presentación de «monstruos», otros tantos contraejemplos. Repasamos esta epopeya, cuyo desenlace se encuentra en los trabajos de Poincaré.
Conjetura de Poincaré en topología de variedades | Tangente
A finales del siglo XIX, tras los trabajos de Poincaré y de muchos otros matemáticos, como Bernhard Riemann (1826-1866) o Enrico Betti (1823-1892), la topología de las superficies de nuestro espacio habitual se conoce bien.
Enfoque cualitativo de Poincaré en análisis | Tangente
Todo estudiante de bachillerato aprende a expresar explícitamente las raíces reales de una ecuación polinómica de segundo grado a partir de raíces cuadradas. Esto se vuelve mucho más difícil para ecuaciones de grado superior e imposible a partir del quinto grado.
Razonamiento por inducción: Poincaré | Tangente
«Este es, por tanto, el razonamiento matemático por excelencia y debemos examinarlo más de cerca» (La Science et l'Hypothèse [La ciencia y la hipótesis], «Sobre la naturaleza del razonamiento matemático»).
La criba de Poincaré
La fórmula de la criba de Poincaré permite calcular la cardinalidad de una unión finita de conjuntos finitos a partir de las cardinalidades de dichos conjuntos y de sus intersecciones.
Poincaré, estudiante fuera de lo común: cero en matemáticas | Tangente
Los profesores que trataron a Henri Poincaré recuerdan a un alumno brillante y atípico.