Según Poincaré, el razonamiento por inducción es el ejemplo perfecto del razonamiento que caracteriza a las matemáticas; permite dar el salto entre lo finito y lo infinito. Supongamos definidos el número 1 y la operación que a cada número entero x le asocia x + 1. Resulta entonces fácil definir la suma de dos números enteros x e y. A continuación se demuestran las propiedades de la suma: primero la asociatividad y después la conmutatividad. Se demuestra, por ejemplo, que x + 1 = 1+x y que, si para un número entero y se tiene x + y = y + x, entonces también se tiene x + ( y + 1) = ( y + 1) + x, por lo que se concluye que, para todo y, x + y = y + x.
Pero ¿cuál es la naturaleza exacta del razonamiento por inducción? ¿Es el único razonamiento empleado para demostrar las propiedades de la suma? ¿Es un axioma de la lógica o una simple definición? Poincaré reflexionará profundamente sobre estas cuestiones, que siguen vigentes, especialmente en la enseñanza de las matemáticas: junto a la geometría, la aritmética ocupa un lugar central.
