Secondo Poincaré, il ragionamento per induzione è l’esempio perfetto del ragionamento che caratterizza la matematica; permette di compiere il passaggio dal finito all’infinito. Supponiamo definiti il numero 1 e l’operazione che associa a un numero intero x il valore x + 1. È allora facile definire la somma di due numeri interi x e y. Si dimostrano poi le proprietà dell’addizione, dapprima l’associatività e poi la commutatività: si mostra, per esempio, che x + 1 = 1+x e quindi che, se per un numero intero y si ha x + y = y + x, allora vale anche x + ( y + 1) = ( y + 1) + x; si conclude dunque che, per ogni y, x + y = y + x.
Ma qual è l’esatta natura del ragionamento per induzione? È l’unico ragionamento impiegato per dimostrare le proprietà dell’addizione? È un assioma della logica o una semplice definizione? Poincaré condurrà una riflessione profonda su queste questioni, tuttora attuali, soprattutto nell’insegnamento della matematica, dove l’aritmetica occupa un posto centrale.
