Il crivello di Poincaré

Si indica con |A| la cardinalità di un insieme finito A, ossia il suo numero di elementi.

Così, |A₁ $\cup \backslash cup$ A₂| = |A₁| + |A₂| − |A₁ $\cap \backslash cap$ A₂|,

|A₁ $\cup \backslash cup$ A₂ $\cup \backslash cup$ A₃| = |A₁| + |A₂| + |A₃| − (|A₁ $\cap \backslash cap$ A₂| + |A₂ $\cap \backslash cap$ A₃| + |A₁ $\cap \backslash cap$ A₃|) + |A₁ $\cap \backslash cap$ A₂ $\cap \backslash cap$ A₃|, e così via.

Questa formula è nota anche come principio di inclusione-esclusione. La si applica a problemi di conteggio, di cui il problema dei cappelli è un esempio emblematico: dopo che i cappelli di un’assemblea di n persone sono stati presi a caso, qual è la probabilità che nessuno riparta con il proprio cappello? Sia A*_i l’evento «la persona i è partita con il proprio cappello», la formula del crivello di Poincaré permette di dimostrare che questa probabilità tende a 1/e* (circa 36,8%).