I matematici riuscirono tuttavia a elaborare un altro approccio: Jacques Charles François Sturm (1803-1855) propose, all’età di 26 anni, un metodo che permette di determinare il numero di radici reali comprese tra due estremi.
Di fronte a un’equazione polinomiale, una volta applicato il metodo di Sturm, diventa poi possibile approssimare ciascuna radice, per esempio con procedimenti algoritmici. La prima fase di questo studio è detta qualitativa, la seconda quantitativa.
Quando, nei suoi primi lavori sulle equazioni differenziali, Henri Poincaré adotta il suo «nuovo obiettivo della geometria qualitativa», è a questo che fa riferimento e che traspone. L’impossibilità di determinare le soluzioni di tali equazioni non chiude l’orizzonte, ma apre un altro approccio: quello in cui ricercare «quali siano le proprietà delle equazioni differenziali riveste il massimo interesse».
Quando si pongono questioni sulla posizione relativa degli astri — stabilità, allontanamento o avvicinamento — lo studio qualitativo delle equazioni differenziali che ne modellizzano il moto è quanto mai pertinente.
Lo studio delle relazioni che permangono in una figura quando la si deforma in modo arbitrario, senza provocare né strappi né sovrapposizioni, e che condurrà alla topologia algebrica, è un altro esempio del suo approccio qualitativo ai problemi.
