In un poliedro, il numero di vertici S, di facce F e di spigoli A soddisfa (in generale) la relazione S + F = A + 2, detta formula di Eulero (vedi Tangente 174, 2017). Questo gioiello della matematica trasforma problemi di geometria in problemi di aritmetica, gettando un meraviglioso ponte tra due mondi senza preoccuparsi delle dimensioni degli oggetti; la relazione prefigura dunque la topologia.
All’origine, Cartesio
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Nel suo testo Progymnasmata de solidorum elementis («Esercizi sugli elementi dei solidi»), René Cartesio (1596−1650) enunciò un teorema: la somma dei deficit ai vertici è pari a otto angoli retti. Per deficit di un vertice si intende il complemento a 360° della somma degli angoli delle facce che concorrono in quel vertice.
Per esempio, in un tetraedro regolare tre triangoli equilateri si incontrano in un vertice. Ora, 3 × 60° = 180°; in ciascuno dei quattro vertici si ha dunque un deficit di 360° − 180°, ossia 180°. In un cubo, tre quadrati si incontrano in ogni vertice. Ora, 3 × 90° = 270°; in ciascuno degli otto vertici si ha dunque un deficit di 360° − 270°, ossia 90°.
Il teorema di Cartesio esprime un fatto che ogni appassionato di poliedri ha notato: meno facce ci sono, più i vertici sono «appuntiti». Il deficit al vertice ne misura precisamente il carattere «appuntito». Il cubo è «meno appuntito» del tetraedro. Purtroppo Cartesio non pubblicò questo risultato, che rimase ignoto fino al 1860, quando Louis-Alexandre Foucher de Careil (1826−1891) lo rese pubblico dopo averlo scoperto qualche anno prima ad Hannover (Germania), insieme ad altri manoscritti di Cartesio, tra gli scritti matematici di Leibniz.
