Nel 1878, a 24 anni, Henri Poincaré riprese lo studio di Lazarus Fuchs su un’equazione differenziale che questi non era riuscito a risolvere. Tra il 1880 e il 1884 scrisse numerosi lavori, nei quali sfruttò metodi attinti ai campi delle equazioni differenziali, dell’analisi complessa, dei gruppi di trasformazioni e della geometria iperbolica.
Henri Poincaré nel 1872, a 18 anni.
La geometria di Lobačevskij
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Nel 1882, un articolo di sintesi tratta una particolare classe di trasformazioni geometriche. Dopo averne esposto alcune proprietà, Poincaré scrive: «Non posso tacere il legame che unisce le nozioni precedenti alla geometria non euclidea di Lobačevskij [sic.]. Supponiamo di privare le parole “retta”, “lunghezza”, “distanza”, “superficie” del loro significato abituale, di chiamare “retta” ogni cerchio il cui centro si trovi su X, “lunghezza di una curva” quella che abbiamo appena chiamato la sua L, “distanza di due punti” la L dell’arco di cerchio che unisce questi due punti e ha il centro su X e infine “superficie di una regione piana” quella che chiamiamo la sua S. Supponiamo inoltre di conservare alle parole “angolo” e “cerchio” il loro significato, convenendo però di chiamare “centro” di un cerchio il punto equidistante da tutti i punti del cerchio (secondo il nuovo significato della parola “distanza”) e “raggio” del cerchio tale distanza costante.
