Due postulati degli Elementi di Euclide esprimono la visione ideale di riga e compasso, ereditata dal mondo delle idee di Platone. Fu in larga parte su questi due postulati che il sapiente alessandrino costruì la geometria piana e le costruzioni che ci ha lasciato in eredità.
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Il teorema detto «dell’angolo alla circonferenza», che fa ancora parte del bagaglio dello studente di scuola secondaria di primo grado di oggi, era già noto ai geometri dell’antichità. Talvolta può dar luogo ad applicazioni insolite.
Le costruzioni geometriche, sostegno del ragionamento, trionfano negli Elementi. Le diverse modalità di insegnamento della geometria, fino ai nostri giorni, vi si richiamano.
Alcuni risultati profondi, come il teorema di Pitagora, precedono la consapevolezza dell’esistenza di una scienza matematica. Al contrario, sono proprio questi risultati, una volta teorizzati e dimostrati, a dare origine alla nascita di tale scienza.
Il quinto postulato di Euclide è diverso dagli altri, sembra dimostrabile. Eppure la sua negazione conduce ad altre geometrie, dette non euclidee. Hanno il loro posto nell’edificio matematico e trovano applicazioni tanto in aritmetica, come mostrò Poincaré, quanto nella relatività generale.
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