Un modello di rigore
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I libri geometrici degli Elementi di Euclide possono essere letti come un modello di rigore assiomatico-deduttivo, ma anche come un’opera di costruzioni mediante intersezioni di rette e circonferenze. Queste due linee sono considerate perfette perché «omeomere» (uniformi), e i primi tre assiomi del Libro I richiedono di tracciare e prolungare una retta e di descrivere una circonferenza. Le proposizioni sono teoremi, che si concludono con «ciò che si doveva dimostrare», oppure problemi di costruzione, che si concludono con «ciò che si doveva fare». Teoremi e problemi sono intrecciati, poiché un teorema deve essere enunciato su una figura costruita e una costruzione deve essere giustificata da una dimostrazione fondata su teoremi. L’importanza delle costruzioni, il loro rapporto con i saperi e quindi con l’insegnamento, si protrae nei secoli successivi attraverso un processo di ordinamento dei saperi (vedi l’articolo «La règle et le compas dans l'enseignement»).
Il teorema 8 come strumento di costruzione
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Negli Elementi di Euclide, il teorema 8 afferma che due triangoli con i tre lati uguali sono uguali (sovrapponibili). Questo risultato serve a giustificare diverse costruzioni: quelle della bisettrice di un angolo, del punto medio di un segmento e poi di una perpendicolare alla retta (AB) passante per un punto C esterno. Una retta è detta perpendicolare a un’altra se la interseca formando angoli adiacenti uguali. Euclide fornisce la costruzione senza commenti: si prende D dall’altro lato di (AB), si descrive la circonferenza di centro C e raggio CD, si divide [EG] a metà in H e si congiungono [CG], [CH] e [CE]. Dimostra l’uguaglianza dei triangoli CHG e CHE e quindi quella degli angoli e .
