Un modèle de rigueur
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Les livres géométriques des Éléments d’Euclide peuvent être lus comme un modèle de rigueur axiomatico-déductif, mais aussi comme un ouvrage de constructions par intersections de droites et de cercles. Ces deux lignes sont considérées comme parfaites, car « homéomères » (uniformes), et les trois premiers axiomes du Livre I demandent de mener et de prolonger une droite et de décrire un cercle. Les propositions sont soit des théorèmes, se terminant par « ce qu’il fallait démontrer », soit des problèmes de construction, se terminant par « ce qu’il fallait faire ». Théorèmes et problèmes sont intriqués car un théorème doit être énoncé sur une figure construite et qu’une construction doit être légitimée par une démonstration s’appuyant sur des théorèmes. Le rôle important des constructions, leur rapport aux savoirs, et donc à l’enseignement, se prolonge sur les siècles qui vont suivre au fil d’un processus de mise en ordre des savoirs (voir article « La règle et le compas dans l'enseignement »).
Le théorème 8 comme outil de construction
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Dans les Éléments d’Euclide, le théorème 8 énonce que deux triangles ayant leurs trois côtés égaux sont égaux (superposables). Ce résultat est utilisé pour légitimer plusieurs constructions : celles de la bissectrice d’un angle, du milieu d’un segment, puis d’une perpendiculaire à une droite (AB) passant par un point C extérieur. Une droite est dite perpendiculaire à une autre droite si elle coupe celle-ci en faisant des angles adjacents égaux. Euclide donne la construction sans commentaire : D est pris de l’autre côté de (AB), le cercle de centre C et de rayon CD est décrit, [EG] est coupé en son milieu H et [CG], [CH] et [CE] sont joints. Il démontre l’égalité des triangles CHG et CHE, et donc celle des angles et .
