Un modelo de rigor
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Los libros geométricos de los Elementos de Euclides pueden leerse como un modelo de rigor axiomático-deductivo, pero también como una obra de construcciones mediante intersecciones de rectas y circunferencias. Ambas se consideran perfectas, por ser «homeómeras» (uniformes), y los tres primeros postulados del Libro I exigen trazar y prolongar una recta y describir una circunferencia. Las proposiciones son teoremas, que terminan con «lo que había que demostrar», o bien problemas de construcción, que terminan con «lo que había que hacer». Teoremas y problemas están entrelazados, pues un teorema debe formularse sobre una figura construida y una construcción debe justificarse mediante una demostración apoyada en teoremas. La importante función de las construcciones, su relación con los saberes y, por tanto, con la enseñanza, se prolonga a lo largo de los siglos posteriores en un proceso de ordenación de los saberes (véase el artículo «La regla y el compás en la enseñanza»).
El teorema 8 como herramienta de construcción
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En los Elementos de Euclides, el teorema 8 afirma que dos triángulos cuyos tres lados correspondientes son iguales son congruentes (superponibles). Este resultado se utiliza para justificar varias construcciones: las de la bisectriz de un ángulo, el punto medio de un segmento y, después, una perpendicular a una recta (AB) que pasa por un punto C exterior. Se dice que una recta es perpendicular a otra si la corta formando ángulos adyacentes iguales. Euclides da la construcción sin comentarios: se toma D al otro lado de (AB), se traza la circunferencia de centro C y radio CD, se halla el punto medio H de [EG] y se unen [CG], [CH] y [CE]. Demuestra la congruencia de los triángulos CHG y CHE y, por tanto, la igualdad de los ángulos y .
