« *Aunque no fue hasta el 19e siglo cuando se delimitó la clase de construcciones que pueden efectuarse solo con regla, puede decirse, sin embargo, que la geometría de la regla se remonta muy atrás. Desde tiempos muy antiguos, artesanos como los carpinteros o los canteros se transmitían «trazos de oficio», en los que la regla era el único instrumento utilizado, o el principal, debido a la propia naturaleza de los cuerpos sobre los que se realizaban los trazados. Estos artesanos no estaban preparados para reconocer en sus trazados proposiciones geométricas llevadas a la práctica, podría decirse*. »
Así introduce el matemático francés Henri Lebesgue (1875–1941) el capítulo III de sus Leçons sur les constructions géométriques, professées au Collège de France en 1940–1941 (Gauthier-Villars, 1950). Por ello, no resulta tan extraño plantearse si «todas» las construcciones geométricas, al menos las que tradicionalmente se denominan «con regla y compás», pueden ejecutarse solo con regla.
Geometría proyectiva y perspectiva de los pintores ------------------------------------------------
En 1833 apareció un pequeño opúsculo del matemático suizo Jacob Steiner (1796–1863), cuyo título en alemán podría traducirse como Construcciones geométricas con regla, dados una circunferencia fija y su centro. Algunos matemáticos, observa, han llamado la atención sobre los numerosos problemas que solo requieren el uso de la regla. Es el caso, por ejemplo, de François-Joseph Servois (1767–1847), con Solutions peu connues de différens problèmes de Géométrie pratique, pour servir de supplément aux traités connus de cette science, en 1804, o de Jean-Victor Poncelet (1788–1867), con su Traité des propriétés projectives des figures, en 1822. Steiner también podría haber citado a Jean-Henri Lambert (1728–1777), en la reedición de 1774 de Perspective affranchie de l’embarras du plan géométral, y, en realidad, a otros más. Todos estos escritos se apoyan en la geometría proyectiva, cuyas raíces más lejanas se encuentran en una aplicación matemática de la perspectiva de los pintores (véase nuestro dossier «La geometría proyectiva», Tangente 162, 2015).
Esta geometría de la regla es, por tanto, una suerte de alianza entre exigencias prácticas y la muy innovadora geometría del 19e siglo, entre cuyos fundadores se encuentran Jean-Victor Poncelet y Jacob Steiner.