La razón doble, uno de los pilares de la geometría proyectiva, que se expresa tanto en términos reales mediante la división armónica como en términos complejos, permite realizar construcciones sencillas y demostraciones elegantes. No solo ayuda a resolver problemas geométricos que, de otro modo, podrían resultar delicados, sino que también da acceso a razonamientos depurados.
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La división armónica para evitar cálculos ----------------------------------------------
La versión «suave» de esta famosa razón doble es la división armónica. En este adjetivo encontramos la palabra griega «armonia» y su connotación musical en Pitágoras. En efecto, si se pulsa en su punto medio A una cuerda fijada por sus dos extremos D y B —D produce el do—, la vibración produce el do una octava más alto. Si ahora se pulsa en C, a un tercio de [AB], se obtiene el sol: eso es la armonia. En el Renacimiento se dirá que DC es la media armónica entre DB y DA, lo que se traduce mediante la igualdad \frac\mathrm{AC}\mathrm{AD}=\frac\mathrm{BC}\mathrm{BD}, o bien, con las notaciones de la figura, h−aa=b−hb,\frac{h-a}{a}=\frac{b-h}{b}, es decir, 2h=1a+1b.\frac{2}{h}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.

La armonía de una cuerda vibrante.

De musical, la noción pasó a ser geométrica en el 17.º siglo; se dirá que los puntos A, B, C y D están en división armónica, expresión que ya aparece en el matemático y músico Philippe de La Hire (1640–1718).
Con la notación de «medida algebraica» (véase FOCUS), dos siglos después se dirá que los cuatro puntos alineados (A, B, C, D), que suele emplearse cuando uno de los puntos C y D es interior y el otro exterior al segmento [AB], forman una división armónica, o también que C y D son conjugados armónicos respecto de A y B. Esto equivale a escribir \frac{\overline\mathrm{CA}}{\overline\mathrm{CB}}=-\frac{\overline\mathrm{DA}}{\overline\mathrm{DB}}.
Esta noción de geometría afín hizo las delicias de generaciones de alumnos de bachillerato, que la encontraron en muchos de sus problemas y que, traducida al lenguaje algebraico, dio lugar a numerosas fórmulas; pero, en el uso de la división armónica, nos quedaremos más con su vertiente geométrica, como introducción a la geometría proyectiva, que con su aspecto puramente calculatorio.
¿Qué ocurre si el punto C es el punto medio de [AB]? Entonces ya no puede encontrarse ningún punto D «visible» que satisfaga la relación anterior: se dice que D es el punto del infinito de la recta (AB). Este paso al límite cobra consistencia en el pequeño problema siguiente. En un trapecio ABCD, cuyos lados paralelos son [AB] y [CD], las rectas (AD) y (BC) se cortan en I, y las rectas (BD) y (AC), en J. K es el punto medio de [AB] y L el de [CD]. Puede demostrarse de muchas formas —mediante cálculo vectorial o analítico, cálculo baricéntrico, homotecias o simetrías oblicuas…— que los puntos I, J, K y L están alineados, pero eso no es lo esencial. Lo importante aquí es que (I, J, K, L) forme una división armónica, pues \frac{\overline\mathrm{IK}}{\overline\mathrm{IL}}= - \frac{\overline\mathrm{JK}}{\overline\mathrm{JL}}, y ambos son iguales —gracias al teorema de Tales— a \frac{\overline\mathrm{KB}}{\overline\mathrm{LD}}.
¿Qué ocurre si el trapecio se convierte en un rectángulo, con (AC) paralela a (BD)? Estamos en el caso límite mencionado antes: I pasa a ser el punto medio de [KL] y J es el punto del infinito en la dirección de (AC) y (BD).
Los haces de rectas ------------------------
Aún más fecunda que la división armónica es la noción de haz armónico de rectas (véase el artículo «Un invariante por proyección central»). Se trata esta vez de un conjunto de cuatro rectas concurrentes o paralelas que pasan, cada una, por los puntos de una división armónica. Se demuestra mediante consideraciones de homotecias que las intersecciones (A, B, C, D) de esas cuatro rectas con cualquier secante forman a su vez una división armónica y —propiedad interesante— que, en el caso de rectas que se cortan en O, la paralela a (OA) trazada por B corta las rectas (OC) y (OD) en dos puntos de los que B es el punto medio. Esta es la propiedad que se utiliza para construir un haz armónico. También es esta particularidad la que permite mostrar que dos rectas secantes y las bisectrices de los ángulos que forman constituyen un haz armónico.
Vayamos más allá: la propia existencia de este haz armónico permite demostrar que los pies de las bisectrices [AD) —interior— y [AE) —exterior— trazadas desde el vértice A del triángulo ABC dividen el lado opuesto a A en segmentos proporcionales a los lados [AB] y [AC]. Eficaz, el haz armónico, ¿verdad?

Que [AD) y [AE) sean bisectrices equivale a DB / DC = EB / EC = AB / AC.

Si (BG) es paralela a (AE), combinando el carácter armónico del haz de las cuatro rectas (AE), (AB), (AD), (AC), el hecho de que el triángulo ABG es isósceles y el teorema de Tales, se demuestra esta condición necesaria y suficiente.
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La generalización a la razón doble ------------------------------
Con la división armónica han aparecido dos cocientes, cuyo cociente constituye la razón doble, ya utilizada discretamente por geómetras de la Antigüedad como Papo o Apolonio, y a la que el matemático francés Michel Chasles (1793–1880) llamaba razón anharmónica. Así, dados cuatro puntos alineados A, B, C y D, la razón doble de (A, B) y (C, D) es igual a \frac{\overline\mathrm{CA}}{\overline\mathrm{CB}}:\frac{\overline\mathrm{DA}}{\overline\mathrm{DB}}. En el caso de (A, B, C, D) en división armónica, vale – 1.
Esta noción de razón doble, base de la geometría proyectiva, presenta múltiples aspectos.
La razón doble de cuatro números, reales o complejos, denotada (a, b, c, d) o a veces [a, b, c, d], designa la cantidad a−cb−c:a−db−d.\frac{a-c}{b-c}:\frac{a-d}{b-d}.
La razón doble Δ de cuatro rectas concurrentes o paralelas se define así: si estas rectas cortan una secante en A, B, C y D, entonces Δ es la razón doble de los cuatro puntos de intersección, cuya independencia de la secante elegida se demuestra (véase la demostración en el recuadro «La fórmula de Möbius»).
Una vez elegido un punto O, la razón doble de cuatro puntos A, B, C y D de una misma circunferencia es la de las cuatro rectas (OA), (OB), (OC), (OD).
Entre las múltiples propiedades de la razón doble, una es fundamental: cuatro puntos del plano complejo son concíclicos o están alineados si su razón doble es un número real. ¡Cuántas bellas aplicaciones de esta propiedad ha proporcionado la geometría! En efecto, puede resultar de gran ayuda para demostrar ciertos resultados.
Un hermoso ejemplo es uno de los enunciados de la Olimpiada Rusa de Geometría en honor de Igor Sharygin (1937–2004), propuesta en 2019:
Los cuadriláteros ABCD y A1B1C1D1 son simétricos respecto de un punto P. Además, A1BCD, AB1CD y ABC1D son inscriptibles —es decir, sus vértices son concíclicos, o pertenecen a una misma circunferencia—. Demostrar que ABCD1 también lo es.
Por supuesto, para lograrlo se puede emprender una enorme «caza de ángulos»… ¡pero hay que saber descubrir los ángulos inscritos «adecuados»! También puede usarse, muy rápidamente, la razón doble, y entonces bastan unos pocos cálculos…
Elijamos hábilmente P como origen —afijo 0— y llamemos a, b, c, d a los afijos respectivos de A, B, C y D. Los de A1, B1, C1, D1 serán entonces, por este orden: – a, – b, – c, – d. Traduzcamos ahora las conciclicidades sucesivas:
• de A1, B, C, D: la razón doble p=a−cb−c:a−db−dp=\frac{a-c}{b-c}:\frac{a-d}{b-d} es real;
• de A, B1, C, D: la razón doble q=a−c−b−c:a−d−b−dq=\frac{a-c}{-b-c}:\frac{a-d}{-b-d} también es real;
• de A, B, C1, D: la razón doble r=a+cb+c:a−db−dr=\frac{a+c}{b+c}:\frac{a-d}{b-d} sigue siendo real.
De ello se deduce que el producto de p y q, dividido por r, es siempre real. Ahora bien:
pqr=a+cb−c×b−da+d×a−cb+c×b+da−d×a−db−d×b+ca+c.\frac{pq}{r}=\frac{a+c}{b-c}\times\frac{b-d}{a+d}\times\frac{a-c}{b+c} \times\frac{b+d}{a-d}\times\frac{a-d}{b-d}\times\frac{b+c}{a+c}.
y, por tanto,
pqr=a−cb−c×b+da+d\frac{pq}{r}=\frac{a-c}{b-c}\times\frac{b+d}{a+d}
o también
pqr=a−cb−c:a+db+d.\frac{pq}{r}=\frac{a-c}{b-c}:\frac{a+d}{b+d}.
¡Esta relación expresa exactamente la conciclicidad de A, B, C, D1! Eficaz, ¿verdad?