Uno strumento geometrico di incomparabile efficacia

Il birapporto, uno dei pilastri della geometria proiettiva, esprimibile tanto in termini reali mediante la divisione armonica quanto in termini complessi, consente sia costruzioni semplici sia dimostrazioni eleganti. Non solo aiuta a risolvere problemi geometrici che altrimenti potrebbero rivelarsi delicati, ma apre anche la strada a ragionamenti essenziali.

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La divisione armonica per evitare calcoli ----------------------------------------------

La versione «soft» di questo celebre birapporto è la divisione armonica. In questo aggettivo ritroviamo la parola greca «armonia» e la sua connotazione musicale in Pitagora. Infatti, pizzicando nel punto medio A una corda fissata alle estremità D e B (con D che dà il do), si ottiene per vibrazione il do all’ottava superiore. Se invece la si pizzica in C, a un terzo di [AB], si ottiene il sol: ecco l’armonia. Nel Rinascimento si dirà che DC è la media armonica fra DB e DA, il che si traduce nell’uguaglianza \frac\mathrm{AC}\mathrm{AD}=\frac\mathrm{BC}\mathrm{BD}, oppure, con le notazioni della figura, $\frac{h-a}{a}=\frac{b-h}{b},\backslash frac\{h-a\}\{a\}=\backslash frac\{b-h\}\{b\},$ cioè $\frac{2}{h}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\mathrm{.}\backslash frac\{2\}\{h\}=\backslash frac\{1\}\{a\}+\backslash frac\{1\}\{b\}.$

Da musicale, la nozione divenne geometrica nel 17^º secolo; si dirà che i punti A, B, C, D sono in divisione armonica, espressione già attestata negli scritti del matematico e musicista Philippe de La Hire (1640–1718).

Con la notazione di «misura algebrica» (vedi FOCUS), due secoli più tardi si dirà che i quattro punti allineati (A, B, C, D), considerati abitualmente con uno fra C e D interno al segmento [AB] e l’altro esterno, formano una divisione armonica, oppure che C e D sono coniugati armonici rispetto ad A e B. Ciò equivale a scrivere \frac{\overline\mathrm{CA}}{\overline\mathrm{CB}}=-\frac{\overline\mathrm{DA}}{\overline\mathrm{DB}}.

Questa nozione di geometria affine ha accompagnato generazioni di studenti delle scuole superiori, che l’hanno incontrata in molti problemi e che, tradotta algebricamente, ha dato luogo a numerose formule; nell’uso della divisione armonica, tuttavia, ne conserveremo soprattutto l’aspetto geometrico di introduzione alla geometria proiettiva, più che quello puramente computazionale.

Che cosa accade se il punto C è il punto medio di [AB]? Non si può più trovare un punto D «visibile» tale che sia verificata la relazione precedente: si dice allora che D è il punto all’infinito della retta (AB). Questo passaggio al limite prende corpo nel piccolo problema seguente. In un trapezio ABCD, in cui i lati paralleli sono [AB] e [CD], le rette (AD) e (BC) si intersecano in I, mentre le rette (BD) e (AC) si incontrano in J. K è il punto medio di [AB] e L quello di [CD]. In molti modi — mediante calcolo vettoriale o analitico, calcolo baricentrico, omotetie o simmetrie oblique… — si può dimostrare che i punti I, J, K e L sono allineati, ma non è questo l’essenziale. Qui importa che (I, J, K, L) sia una divisione armonica, poiché in \frac{\overline\mathrm{IK}}{\overline\mathrm{IL}}= - \frac{\overline\mathrm{JK}}{\overline\mathrm{JL}}, i due rapporti sono uguali, grazie al teorema di Talete, a \frac{\overline\mathrm{KB}}{\overline\mathrm{LD}}.

Che cosa accade se il trapezio diventa un rettangolo, con (AC) parallela a (BD)? Siamo nel caso limite evocato in precedenza: I diventa il punto medio di [KL] e J è il punto all’infinito nella direzione di (AC) e (BD).

I fasci di rette ------------------------

Ancora più feconda della divisione armonica è la nozione di fascio armonico di rette (vedi l’articolo «Un invariante per proiezione centrale»). Si tratta di un insieme di quattro rette concorrenti o parallele, ciascuna passante per uno dei punti di una divisione armonica. Si dimostra con considerazioni sulle omotetie che le intersezioni (A, B, C, D) di queste quattro rette con una qualunque secante sono anch’esse in divisione armonica e — proprietà interessante — che, nel caso di rette concorrenti in O, la parallela a (OA) condotta da B interseca le rette (OC) e (OD) in due punti di cui B è il punto medio. È questa proprietà che si usa per costruire un fascio armonico. Ed è sempre questa particolarità a mostrare che due rette secanti e le bisettrici degli angoli che formano costituiscono un fascio armonico.

Andiamo oltre: l’esistenza stessa di questo fascio armonico permette di dimostrare che i piedi delle bisettrici [AD) (interna) e [AE) (esterna) uscenti dal vertice A del triangolo ABC dividono il lato opposto ad A in segmenti proporzionali ai lati [AB] e [AC]. Efficace, il fascio armonico, no?

Se (BG) è parallela ad (AE), dall’armonicità del fascio delle quattro rette (AE), (AB), (AD), (AC), dal fatto che il triangolo ABG è isoscele e dal teorema di Talete, si dimostra questa condizione necessaria e sufficiente.

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La generalizzazione al birapporto ------------------------------

Con la divisione armonica sono comparsi due rapporti, dei quali si può a sua volta fare il rapporto: ecco il birapporto, già impiegato, sia pure implicitamente, da geometri dell’Antichità come Pappo o Apollonio, e che il matematico francese Michel Chasles (1793–1880) chiamava rapporto anarmonico. Dati quattro punti allineati A, B, C e D, il birapporto di (A, B) e (C, D) è dunque uguale a \frac{\overline\mathrm{CA}}{\overline\mathrm{CB}}:\frac{\overline\mathrm{DA}}{\overline\mathrm{DB}}. Nel caso in cui (A, B, C, D) siano in divisione armonica, è uguale a – 1.

Questa nozione di birapporto, alla base della geometria proiettiva, presenta molteplici aspetti.

Il birapporto di quattro numeri, reali o complessi, indicato con (a, b, c, d) oppure talvolta con [a, b, c, d], denota la quantità $\frac{a-c}{b-c}:\frac{a-d}{b-d}\mathrm{.}\backslash frac\{a-c\}\{b-c\}:\backslash frac\{a-d\}\{b-d\}.$

Il birapporto Δ di quattro rette concorrenti o parallele si definisce così: se tali rette intersecano una secante in A, B, C e D, allora Δ è il birapporto dei quattro punti d’intersezione, che si dimostra essere indipendente dalla secante scelta (vedi la dimostrazione nel riquadro «La formula di Möbius»).

Scelto un punto O, il birapporto di quattro punti A, B, C e D di una stessa circonferenza è quello delle quattro rette (OA), (OB), (OC), (OD).

Fra le molte proprietà del birapporto, una è fondamentale: quattro punti del piano complesso sono conciclici o allineati se il loro birapporto è un numero reale. Quante belle applicazioni di questa proprietà ha fornito la geometria! Può infatti essere di grande efficacia nella dimostrazione di alcuni risultati.

Un bell’esempio è uno degli enunciati dell’Olimpiade russa di geometria in onore di Igor Sharygin (1937–2004), proposto nel 2019:

I quadrilateri ABCD e A₁B₁C₁D₁ sono simmetrici rispetto a un punto P. Si sa inoltre che A₁BCD, AB₁CD e ABC₁D sono inscrittibili (cioè i loro vertici sono conciclici, oppure appartengono alla stessa circonferenza). Dimostrare che lo è anche ABCD₁.

Naturalmente, per riuscirci si può fare una gigantesca «caccia agli angoli»… ma bisogna saper scovare gli angoli inscritti «giusti»! Si può anche usare il birapporto, molto più rapidamente: bastano allora pochi calcoli…

Scegliamo astutamente P come origine (affisso 0) e chiamiamo a, b, c, d gli affissi rispettivi di A, B, C, D. Quelli di A₁, B₁, C₁, D₁ saranno allora, nell’ordine: – a, – b, – c, – d. Traduciamo ora le successive conciclicità:

• di A₁, B, C, D: il birapporto $p=\frac{a-c}{b-c}:\frac{a-d}{b-d}p=\backslash frac\{a-c\}\{b-c\}:\backslash frac\{a-d\}\{b-d\}$ è reale;

• di A, B₁, C, D: anche il birapporto $q=\frac{a-c}{-b-c}:\frac{a-d}{-b-d}q=\backslash frac\{a-c\}\{-b-c\}:\backslash frac\{a-d\}\{-b-d\}$ è reale;

• di A, B, C₁, D: il birapporto $r=\frac{a+c}{b+c}:\frac{a-d}{b-d}r=\backslash frac\{a+c\}\{b+c\}:\backslash frac\{a-d\}\{b-d\}$ è ancora reale.

Ne deduciamo che il prodotto di p e q, diviso per r, è sempre reale. Ora:

e dunque

ossia ancora

Questa relazione esprime esattamente la conciclicità di A, B, C, D₁! Efficace, no?