Nel libro I dei suoi Elementi, Euclide fornisce le definizioni degli oggetti geometrici e aggiunge cinque «richieste», chiamate postulati da Proclo, per porre le basi della sua geometria, nonché alcune «nozioni comuni». I primi quattro postulati riguardano la costruzione della retta, della circonferenza e l’universalità dell’angolo retto. Nel corso dei secoli non hanno posto problemi. Diverso è il caso del più celebre dei suoi postulati, o assiomi, il quinto nelle edizioni recenti, detto assioma delle parallele, oggi espresso nella forma: «Per un punto esterno a una retta passa una sola parallela a quella retta.» Dopo ventidue secoli di ricerche infruttuose, nasce la geometria iperbolica. Il 3 novembre 1823, János Bolyai (1802–1860) scrisse al padre Farkas di aver «creato dal nulla un nuovo altro mondo». Nello stesso periodo e indipendentemente, Nikolaj Lobačevskij (1792–1856) ottenne un risultato analogo.
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La geometria proiettiva
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D’ora in poi non si parla più della Geometria, ma delle geometrie. Sotto l’impulso di Félix Klein (1849–1925), gli studi geometrici consistono nel cercare gli elementi invarianti rispetto a un gruppo caratteristico di trasformazioni. Così, nella consueta geometria euclidea, una figura «non cambia» (per forma e dimensioni) con le isometrie, quali rotazioni e traslazioni; «non cambia» (nella forma) con un cambiamento di scala, ossia un’omotetia. L’insieme di queste trasformazioni costituisce il gruppo delle similitudini e non è altro che un’applicazione affine, nel piano complesso, della forma
Nata dallo studio della prospettiva, o proiezione centrale, la geometria proiettiva ignora le nozioni di misura e ortogonalità e non distingue tra loro le coniche.
