En el libro I de sus Elementos, Euclides da las definiciones de los objetos de la geometría y añade cinco «peticiones», llamadas postulados por Proclo, para establecer los fundamentos de su geometría, así como unas «nociones comunes». Los cuatro primeros postulados se refieren a la construcción de la recta, de la circunferencia y a la universalidad del ángulo recto. Con el paso del tiempo no han planteado problemas. No ocurre lo mismo con el más célebre de sus postulados, o axiomas, el quinto en las ediciones recientes, llamado axioma de las paralelas, expresado hoy en la forma: «Por un punto situado fuera de una recta pasa una sola paralela a dicha recta». Tras veintidós siglos de investigaciones infructuosas, asistimos al nacimiento de la geometría hiperbólica. El 3 de noviembre de 1823, János Bolyai (1802–1860) escribe a su padre Farkas que ha «creado de la nada un mundo nuevo y diferente». Por la misma época e independientemente, Nikolái Lobachevski (1792–1856) obtiene un resultado similar.
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La geometría proyectiva
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Desde entonces ya no se habla de la Geometría, sino de las geometrías. Bajo el impulso de Félix Klein (1849–1925), los estudios geométricos consisten en buscar los elementos invariantes bajo un grupo característico de transformaciones. Así, en nuestra geometría euclidiana habitual, una figura «no cambia» (ni de forma ni de tamaño) con las isometrías, como las rotaciones y las traslaciones; tampoco «cambia» (de forma) al modificar la escala, o mediante una homotecia. El conjunto de estas transformaciones constituye el grupo de las semejanzas y no es otra cosa que una aplicación afín, en el plano complejo, de la forma
Nacida del estudio de la perspectiva, o proyección central, la geometría proyectiva ignora las nociones de medida y ortogonalidad, y no distingue unas cónicas de otras.
