Per una semiretta uscente da un punto O che interseca una circonferenza (C) nei punti A e B, il prodotto PC(O)=OA‾×OB‾\text{P}_{\text{C}} (\text{O}) = \overline{\text{OA}} \times \overline{\text{OB}} definisce la potenza del punto O rispetto alla circonferenza (C). Questa nozione può essere definita semplicemente mediante quella di angolo alla circonferenza e l’antico teorema di Talete. Studiandola, Jakob Steiner scoprì, solo nel 1824, l’inversione, una trasformazione i cui elementi erano tuttavia tutti noti fin da Euclide.
L’inversione, l’altro tema --------------------------
Un’inversione i di polo O è, come le simmetrie, una trasformazione involutoria, tale cioè che i composta con sé stessa dia l’identità. A ogni punto M distinto dal polo O associa il punto immagine, o omologo, M’ = i(M) sulla retta (OM), tale che OM‾×OM’‾=k,\overline{\text{OM}} \times \overline{\text{OM'}} = k, dove k è un numero reale assegnato.
Per la manifesta analogia di questa espressione con quella della potenza di un punto, la costante k è detta potenza dell’inversione.
La circonferenza (C) di centro O e raggio ∣k∣=OT,\sqrt{| k|} = \text{OT}, detta circonferenza di inversione, è invariante punto per punto e separa i punti interni da quelli esterni, scambiati dall’inversione. Ogni punto N del segmento [IB] ha come immagine P = i (N) nel segmento [IA], e viceversa N = i (P).