Scrutinio proporzionale, imposta proporzionale, media proporzionale, quarta proporzionale: tante espressioni che usano la stessa parola, «proporzionalità». Se sappiamo, con maggiore o minore precisione, che cosa indichi, ne conosciamo le numerose applicazioni in geometria e sappiamo in particolare che è alla base della dimostrazione della maggior parte dei grandi teoremi?
I libri di geometria abbondano di rapporti e, quando si parla di «uguaglianza di rapporti», si parla di «proporzionalità». Appena si evoca questa parola in geometria, il primo pensiero va naturalmente al cosiddetto teorema di Talete. Porta questo nome in omaggio all’illustre matematico greco del VIº secolo avanti Cristo, che avrebbe calcolato l’altezza di una piramide con un bastone sfruttando la proporzionalità; ma la più antica dimostrazione nota si trova negli Elementi di Euclide (proposizione 2, libro VI), scritti circa tre secoli avanti Cristo (vedi l’articolo « Da Euclide »).
Il placido fiume della similitudine
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Ma parlare di «proporzioni» in geometria significa anche parlare di «triangoli simili»: più precisamente, di triangoli i cui lati sono proporzionali a due a due. Questa nozione ricorre in molte dimostrazioni, anche oltre il caso del triangolo, come nel teorema di Tolomeo.
Quest’ultimo enuncia una condizione necessaria e sufficiente affinché quattro punti A, B, C e D siano conciclici: deve valere l’uguaglianza AC × BD = AB × CD + BC × AD.
