Votación proporcional, impuesto proporcional, media proporcional, cuarta proporcional: todas estas expresiones emplean la misma palabra, «proporcionalidad». Si sabemos, con mayor o menor precisión, qué abarca, ¿conocemos sus numerosas aplicaciones en el ámbito de la geometría y sabemos, en particular, que constituye la base de la demostración de la mayoría de los grandes teoremas?
Los libros de geometría están repletos de razones, y quien dice «igualdad de razones» dice «proporcionalidad». En cuanto se menciona esta palabra en geometría, la primera idea que viene a la mente es, naturalmente, el llamado teorema de Tales. Lleva este nombre en homenaje al ilustre matemático griego del 6.º siglo antes de nuestra era, que habría calculado la altura de una pirámide con ayuda de un bastón, haciendo uso de la proporcionalidad; pero es en Los Elementos de Euclides (proposición 2, libro VI), escritos unos tres siglos antes de nuestra era, donde se encuentra la demostración más antigua que se conoce (véase el artículo «En Euclides»).
El tranquilo río de la semejanza
-------------------------------------
Pero quien dice «proporciones» en geometría dice también «triángulos semejantes»: más exactamente, triángulos cuyos lados son proporcionales dos a dos. Esta noción reaparece en muchas demostraciones, incluso más allá del marco del triángulo, como en el teorema de Ptolomeo.
Este último enuncia una condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos A, B, C y D sean concíclicos: debe cumplirse la igualdad AC × BD = AB × CD + BC × AD.
