Proportionnalité et géométrie
Dès l’origine, la proportionnalité, que l’on trouve en algèbre avec la règle de trois, est devenue incontournable en géométrie. On la rencontre pour démontrer l’incommensurabilité de certaines longueurs ou évaluer des aires et des volumes. Chez Euclide, elle est un outil indispensable pour de nombreuses démonstrations. Très liée aux configurations de parallélisme, via le fameux théorème de Thalès, elle donnera lieu à de célèbres résultats, comme les théorèmes de Ceva ou de Ménélaüs. Moins connus, l’antiparallélisme et les rapports associés ont ouvert la voie à de nouvelles approches. On leur doit la puissance d’un point par rapport à un cercle ou la transformation d’inversion.
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Redescubrir la proporcionalidad
Cuando pensamos en proporcionalidad, solemos pensar en la regla de tres, es decir, en una técnica de cálculo. Sin embargo, esta noción apareció primero en geometría, con el estudio de las figuras semejantes, fundamento de numerosos teoremas, y fue allí donde surgió la idea de magnitudes inconmensurables.
In Euclid
Para los geómetras de la Antigüedad, la imposibilidad de concebir números no racionales planteaba problemas al manejar razones entre longitudes o áreas que no son necesariamente conmensurables. La definición que encontramos en los Elementos de Euclides se mantuvo vigente hasta el siglo XIX.
Los hijos de Tales
En geometría elemental, muchas demostraciones recurren a la proporcionalidad. Casi todos los teoremas míticos de la disciplina están relacionados con ella: Tales, Ptolomeo, Menelao, Ceva, Papo… Un breve recorrido por estos grandes problemas.
Las curiosidades del antiparalelismo
En geometría elemental, la noción de proporcionalidad suele implicar rectas paralelas, en relación con el teorema de Tales. También existen rectas antiparalelas. ¿Habría entonces una «antiproporcionalidad»?