No es seguro que este monumental tratado que son los Elementos (finales del IV.º siglo antes de Cristo) fuera escrito enteramente por Euclides, un personaje misterioso del que, por otra parte, apenas sabemos nada. Pero lo cierto es que esta obra, compuesta por trece libros, sentó las bases de un enfoque axiomático de las matemáticas e influyó considerablemente en su desarrollo y, más en general, en el de la ciencia. Los cuatro primeros libros de los Elementos sientan las bases de la geometría plana y estudian figuras como el triángulo y el círculo. Los dos siguientes (libros V y VI) estudian las proporciones. A continuación, los libros VII a X tratan más bien de aritmética, y los tres últimos se ocupan de la geometría del espacio. Es principalmente en el libro VI donde se abordan las aplicaciones de las proporciones a la geometría.
La dificultad de los inconmensurables
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Para los griegos, una magnitud mide otra (mayor) cuando esta última está formada por cierto número de veces la primera. Así, en la figura siguiente, el segmento AU mide el segmento AB, cuya longitud es el triple; ese mismo segmento AU mide CD. AB y CD tienen una medida común, AU, y se dice que son conmensurables.
Siete veces AB es igual a tres veces CD; también se dice que AB mide CD: la longitud de CD es igual a 7/3 de la de AB.
