Il n’est pas certain que ce monumental traité que sont les Éléments (fin du IVe siècle avant J.-C.) ait été écrit entièrement par Euclide, personnage mystérieux, dont on ne sait, par ailleurs, quasiment rien. Mais ce qui est sûr, c’est que cet ouvrage, constitué de treize livres, a posé les bases d’une approche axiomatique des mathématiques, influençant considérablement leur développement et, plus généralement, celui de la science. Les quatre premiers livres des Éléments posent les bases de la géométrie plane et étudient des figures comme le triangle et le cercle. Les deux suivants (livres V et VI) étudient les proportions. Ensuite, les livres de VII à X traitent davantage de l’arithmétique et les trois derniers s’intéressent à la géométrie dans l’espace. C’est principalement dans le livre VI que l’on aborde les applications des proportions à la géométrie.
La difficulté des incommensurables
Chez les Grecs, une grandeur en mesure une autre (plus grande) lorsque cette dernière est constituée d’un certain nombre de fois la première. Ainsi, sur la figure ci-après, le segment AU mesure le segment AB, la longueur de ce dernier est triple ; ce même segment AU mesure CD. AB et CD ont une mesure commune, AU, on les dit commensurables.
Sept fois AB égale trois fois CD, on dit aussi que AB mesure CD : la longueur de CD étant égale à 7/3 de celle de AB.
