Non è certo che il monumentale trattato degli Elementi (fine del 4º secolo a.C.) sia stato scritto interamente da Euclide, personaggio misterioso del quale, peraltro, non si sa quasi nulla. È però certo che quest’opera, composta da tredici libri, pose le basi di un approccio assiomatico alla matematica, influenzandone considerevolmente lo sviluppo e, più in generale, quello della scienza. I primi quattro libri degli Elementi pongono le basi della geometria piana e studiano figure quali il triangolo e il cerchio. I due successivi (i libri V e VI) studiano le proporzioni. I libri dal VII al X trattano poi soprattutto di aritmetica, mentre gli ultimi tre si interessano alla geometria nello spazio. È principalmente nel libro VI che si affrontano le applicazioni delle proporzioni alla geometria.
La difficoltà degli incommensurabili
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Per i Greci, una grandezza misura un’altra (più grande) quando quest’ultima contiene un certo numero di volte la prima. Così, nella figura seguente, il segmento AU misura il segmento AB, la cui lunghezza è tripla; lo stesso segmento AU misura CD. AB e CD hanno una misura comune, AU, e si dicono commensurabili.
Sette volte AB è uguale a tre volte CD; si dice anche che AB misura CD: la lunghezza di CD è infatti pari a 7/3 di quella di AB.
