Il contributo rivoluzionario di Felix Klein nella sua conferenza di Erlangen consistette nel mettere in evidenza, al centro di ogni tipo di geometria, il ruolo fondamentale del gruppo di trasformazioni che agisce sui suoi oggetti e nello studio, da parte di tale gruppo o di alcuni suoi sottogruppi, degli invarianti, cioè delle proprietà delle figure che le trasformazioni non modificano.
Vale anche il viceversa: le proprietà geometriche sono caratterizzate dalla loro invarianza rispetto a determinati gruppi di trasformazioni.
Klein fondò il suo programma su una gerarchia di questi gruppi, uno contenuto nell’altro: il «gruppo principale», quello delle isometrie, era contenuto in quello delle similitudini, che conservavano la forma delle figure, a sua volta contenuto in quello delle trasformazioni affini, che conservavano il parallelismo…
Questa corrispondenza è alla base di numerose dimostrazioni di risultati fondamentali, ma anche della caratterizzazione delle diverse geometrie. Eccone alcuni esempi.
