Due teoremi al prezzo di uno

In matematica la parola «duale» si applica in molti modi: si parla del duale di uno spazio vettoriale (vedi l’articolo « L'échangisme en géométrie »), di un poliedro, di un grafo e perfino del duale di un teorema. Questa nozione di «teoremi duali» è fondamentale. La geometria proiettiva è particolarmente adatta a illustrare l’importanza della dualità.

Benché gli oggetti cui si applica la parola «duale» siano diversi, è in gioco lo stesso fenomeno: dato un insieme E di oggetti, se a ogni elemento X di E si può associare, mediante una biiezione, un elemento Y di un altro insieme E, si dice che E è il duale di E. Il duale del duale di E è dunque E stesso. Il significato preciso della parola può tuttavia assumere forme diverse a seconda dei casi. Un primo esempio, elementare, è il complementare di un insieme: a ogni elemento X dell’insieme $\mathcal{P}(E)\{\backslash cal\; P\}(E)$ delle parti di un dato insieme E si associa il suo complementare X’ in E. L’insieme $\mathcal{P}(E)\{\backslash cal\; P\}(E)$ è duale di sé stesso in questa operazione.

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