Dualité, des théorèmes qui vont par deux
Au début du XIXe siècle, le mathématicien Joseph Gergonne pensa découvrir un nouveau monde lorsqu'il comprit qu'un théorème naissait d'un autre en intervertissant dans un énoncé les termes « point » et « droite ». Dans un sens plus large, cette analogie avait déjà été mise en valeur, en particulier dans le cadre des solides platoniciens. Baptisée ensuite dualité, elle permet, en « renversant » deux concepts « duaux », de parvenir à des démonstrations saisissantes de rapidité. La dualité fut le berceau de la géométrie projective. Elle se retrouve de nos jours dans de nombreux domaines : théorie des ensembles, logique, algèbre linéaire… L'analyse s'en est aussi emparée dans le cadre des espaces fonctionnels.
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Lo scambio in geometria
La dualità è presente in molti rami della matematica, fin dall’antichità con i solidi platonici. Si sviluppò nella geometria proiettiva all’inizio del XIX secolo, poi comparve poco dopo in logica con George Boole e August De Morgan, prima di fiorire nell’algebra lineare.
Dualità matematica: la polemica | Tangente
La parola «dualità» deriva dal latino tardo dualitas, che aveva soppiantato il termine classico duales, riferito a ciò che è associato a due (duo nella lingua di Cicerone).
Quando i poliedri vanno a due a due
Scambiando facce e vertici di un poliedro se ne ottiene uno nuovo, costruibile con semplici procedimenti geometrici. Questo fenomeno dimostra, ancora una volta, lo stretto legame tra aritmetica e geometria.
Due teoremi al prezzo di uno
L’idea di associare, secondo regole precise, due oggetti matematici permette di estendere alcuni risultati senza dover reinventare tutto: è questo il vantaggio della nozione di dualità. Ovvero, come prendere due piccioni con una fava, matematicamente parlando.