Prima dell’inizio del 19e secolo non si parlava di dualità in matematica. Il termine cominciò a essere usato con lo sviluppo della geometria proiettiva, promossa da Gaspard Monge, Lazare Carnot, Victor Poncelet e Joseph Diez Gergonne (vedi il nostro dossier in Tangente 162, 2014). Quest’ultimo si meravigliò che «in questa parte della geometria, che non dipende affatto dalle relazioni metriche fra le figure, […] a ogni teorema ne corrisponde necessariamente un altro, che se ne deduce semplicemente scambiando fra loro le due parole “punto” e “retta”». Nello spazio, spiega, le parole «punto» e «piano» svolgono lo stesso ruolo; parla allora di «questa sorta di dualità dei teoremi che costituiscono la geometria di situazione ». La parola era stata pronunciata!
a sinistra: Gaspard Monge (1746–1818), conte di Peluse, in abito da presidente del Senato.
a destra: Lazare Nicolas Marguerite Carnot (1753–1823), l’Organizzatore della Vittoria.
Il significato di «dualità» si ampliò in seguito fino a designare, in generale, ogni situazione in cui due elementi, due spazi o due figure svolgono ruoli simmetrici l’uno rispetto all’altro. Un bell’esempio di teoremi duali è dato da quelli di Pascal e di Brianchon. Quanto a quello di Desargues, è autoduale, cioè si ritrova lo stesso teorema scambiando le parole «punto» e «retta» (vedi l’articolo «Due teoremi al prezzo di uno»).
