No se hablaba de dualidad en matemáticas antes de comienzos del 19.º siglo. Se hace referencia a ella con el desarrollo de la geometría proyectiva, impulsada por Gaspard Monge, Lazare Carnot, Victor Poncelet y Joseph Diez Gergonne (véase nuestro dossier en Tangente 162, 2014). Este último se maravilló de que «en esta parte de la geometría, que no depende en absoluto de las relaciones métricas entre las figuras, […] a cada teorema corresponde necesariamente otro que se deduce de él intercambiando simplemente las dos palabras “punto” y “recta”». En el espacio, explica, las palabras «punto» y «plano» desempeñan el mismo papel; habla entonces de «esta especie de dualidad de los teoremas que constituyen la geometría de situación ». ¡La palabra estaba dicha!
a la izquierda: Gaspard Monge (1746–1818), conde de Peluse, con el uniforme de presidente del Senado.
a la derecha: Lazare Nicolas Marguerite Carnot (1753–1823), el Organizador de la Victoria.
El sentido de «dualidad» se amplió más tarde para designar, en general, cualquier situación en la que dos elementos, dos espacios o dos figuras desempeñan papeles simétricos entre sí. Los teoremas de Pascal y Brianchon ofrecen un hermoso ejemplo de teoremas duales. En cuanto al de Desargues, es autodual, es decir, se recupera el mismo teorema tras intercambiar las palabras «punto» y «recta» (véase el artículo «Dos teoremas por el precio de uno»).
