Dualidad, teoremas que van por pares
A principios del siglo XIX, el matemático Joseph Gergonne pensó descubrir un nuevo mundo cuando comprendió que un teorema nacía de otro al intercambiar en un enunciado los términos « punto » y « recta ». En un sentido más amplio, esta analogía ya había sido destacada, en particular, en el contexto de los sólidos platónicos. Bautizada después como dualidad, permite, al « invertir » dos conceptos « duales », llegar a demostraciones de una rapidez impresionante. La dualidad fue la cuna de la geometría proyectiva. Se encuentra hoy en día en numerosos ámbitos: teoría de conjuntos, lógica, álgebra lineal… El análisis también se ha apropiado de ella en el contexto de los espacios funcionales.
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El intercambio de papeles en geometría
La dualidad está presente en muchas ramas de las matemáticas desde la Antigüedad, con los sólidos platónicos. Se desarrolla en geometría proyectiva a comienzos del siglo XIX y poco después aparece en lógica con George Boole y August De Morgan, antes de florecer en álgebra lineal.
Dualidad: polémica matemática | Tangente
La palabra «dualidad» procede del bajo latín dualités, que había desplazado al término clásico duales, que calificaba lo asociado a dos (duo en la lengua de Cicerón).
Cuando los poliedros van de dos en dos
Al intercambiar las caras y los vértices de un poliedro se obtiene uno nuevo, que puede construirse mediante procedimientos geométricos elementales. Este fenómeno demuestra, una vez más, el estrecho vínculo entre la aritmética y la geometría.
Dos teoremas por el precio de uno
La idea de asociar dos objetos matemáticos de forma reglada permite ampliar ciertos resultados sin tener que reinventarlo todo: ese es todo el interés de la noción de dualidad. O cómo matar matemáticamente dos pájaros de un tiro.