Au-delà de l'algèbre
La notion de groupe, de par sa nature structurante, est centrale en algèbre. Mais elle est aussi indispensable en géométrie, où elle permet de comprendre, de classer, de relier, d’étudier les transformations, voire de caractériser différentes géométries. Ainsi, si les symétries n’expliquent pas tout, elles sont souvent présentes, quelquefois de manière invisible. Mais le concept de groupe ne s’arrête pas là : il a investi d’autres domaines comme l’analyse infinitésimale et la physique mathématique, où les groupes de Lie ont une importance cruciale.
Tutti gli articoli di questo dossier
Simmetrie che lasciano invariati gli oggetti
In geometria, che cosa c’è di più naturale che cercare, per ogni oggetto, le trasformazioni che lo lasciano immutato? Così facendo, occorre analizzare queste trasformazioni, individuare le simmetrie dell’oggetto e, sorpresa!, si trovano naturalmente dei gruppi…
Trasformazioni geometriche in gruppi
Astratta e puramente algebrica, la nozione di gruppo? Tutt’altro! In geometria, permette di non lasciarsi travolgere dalla profusione e dalla varietà apparenti delle trasformazioni, oppure di cogliere i diversi tipi di simmetria che si possono incontrare.
Il gruppo di Klein e le sue incarnazioni
Quando si comincia a maneggiare i gruppi, si compila pazientemente la tavola di quelli con pochi elementi. Il gruppo con un elemento si riduce all’elemento neutro, ed è quindi unico. Analogamente, quelli con due e tre elementi sono determinati senza ambiguità. Le sorprese cominciano con quattro elementi...
Il programma di Erlangen
In occasione della sua nomina a professore all’università di Erlangen nel 1872, Felix Klein, allora appena ventitreenne, presentò un programma di ricerca in geometria noto da allora come «Programma di Erlangen». Al centro di questo programma si trova il concetto di gruppo.
I gruppi di Lie
I gruppi introdotti dal matematico Sophus Lie sono diventati strumenti imprescindibili della fisica teorica.
Il diagramma di Cayley
Come cogliere a colpo d’occhio la struttura di un gruppo finito? A questa domanda risponde il diagramma di Cayley!