Che cosa significa «lasciare immutato un oggetto» in geometria? Una risposta sembra imporsi: «conservazione delle distanze». Le trasformazioni che conservano un dato oggetto non possono dunque essere che isometrie. Detto questo, se si tratta di lasciare invariato un triangolo qualsiasi, difficilmente si troverà una trasformazione diversa dall’identità. L’oggetto in questione deve quindi possedere un certo numero di simmetrie. Perché la ricerca sia completa, occorrerà strutturare le isometrie che lasciano invariato uno stesso oggetto, dotandole di una legge di composizione. E meraviglia delle meraviglie, essa ci permetterà di costruire un gruppo.
Per iniziare gradualmente, interessiamoci anzitutto a una figura elementare come il quadrato. Il caso del triangolo isoscele è stato trattato nell’articolo « Le strutture quoziente ».

Le isometrie del quadrato.

Un caso semplice: il quadrato ------------------------