¿Qué significa «dejar inalterado un objeto» en geometría? Parece imponerse una posible respuesta: la «conservación de las distancias». Por tanto, las transformaciones que conservan un objeto dado solo pueden ser isometrías. Dicho esto, si se trata de dejar invariante un triángulo cualquiera, difícilmente encontraremos otra transformación que la identidad. Así pues, el objeto en cuestión debe poseer cierto número de simetrías. Para que la búsqueda sea completa, convendrá estructurar las isometrías que dejan invariante un mismo objeto dotándolas de una ley de composición. Y la maravilla de las maravillas será que nos permitirá constituir un grupo.
Para empezar, centrémonos en una figura tan elemental como el cuadrado. El caso del triángulo isósceles se trató en el artículo «Las estructuras cociente».

Las isometrías del cuadrado.

Un caso sencillo: el cuadrado ------------------------