Les groupes

Es difícil imaginar el álgebra sin la teoría de grupos. Sin embargo, no es sino hasta principios del siglo XIX que el concepto se desarrolla, presente implícitamente en los trabajos de Lagrange, y luego introducido por Galois. Primero limitada a los únicos grupos de permutaciones de un conjunto, la noción se impuso gradualmente en todos los campos de las matemáticas para estudiar no solo los objetos, sino también las relaciones entre ellos. La definición formal de un grupo no aparece sino hasta finales del siglo XIX. Se desarrollan entonces gran cantidad de herramientas para utilizar, catalogar, construir los numerosos ejemplos de esta estructura unificadora que invade las matemáticas… y todas las ciencias. Santo grial definitivo, el teorema de clasificación de los grupos simples finitos todavía tiene repercusiones hoy en día.

La noción de grupo, por su naturaleza estructurante, es central en álgebra. Pero también es indispensable en geometría, donde permite comprender, clasificar, relacionar, estudiar las transformaciones, e incluso caracterizar diferentes geometrías. Así, si las simetrías no lo explican todo, a menudo están presentes, alguna vez de manera invisible. Pero el concepto de grupo no se detiene ahí: ha irrumpido en otros dominios como el análisis infinitesimal y la física matemática, donde los grupos de Lie tienen una importancia crucial.

Si el grupo está omnipresente en las matemáticas « puras y duras », otros dominios se han apropiado de él, conscientes de las ventajas que su presencia aportaba: comprensión de fenómenos complejos, técnicas nuevas, unificación de las ideas… sin contar con el atractivo que una estructura abstracta ejerce sobre nuestro pensamiento. En etnología, Claude Lévi-Strauss ha utilizado los grupos para modelizar relaciones de parentesco en ciertas poblaciones. En criptología, la « aritmética del reloj » está presente en toda operación de cifrado o descifrado. El arte no se queda atrás, ya sea en música, literatura o pintura. Las Barras de madera redonda de André Cadere siguen siendo emblemáticas de la representación artística de los grupos de permutaciones.