Más allá del álgebra
La noción de grupo, por su naturaleza estructurante, es central en álgebra. Pero también es indispensable en geometría, donde permite comprender, clasificar, relacionar, estudiar las transformaciones, e incluso caracterizar diferentes geometrías. Así, si las simetrías no lo explican todo, a menudo están presentes, alguna vez de manera invisible. Pero el concepto de grupo no se detiene ahí: ha irrumpido en otros dominios como el análisis infinitesimal y la física matemática, donde los grupos de Lie tienen una importancia crucial.
Todos los artículos de este dossier
Simetrías que dejan invariantes los objetos
En geometría, ¿qué hay más natural que buscar, para cualquier objeto, las transformaciones que lo dejan inalterado? Al hacerlo, debemos descomponer estas transformaciones, identificar las simetrías del objeto y, ¡oh, sorpresa!, encontramos de forma natural grupos...
Transformaciones geométricas en grupos
¿La noción de grupo es abstracta y puramente algebraica? ¡En absoluto! En geometría permite no dejarse abrumar por la profusión y la aparente diversidad de las transformaciones, así como comprender los distintos tipos de simetría que pueden encontrarse.
El grupo de Klein y sus avatares
Cuando empezamos a manejar grupos, elaboramos pacientemente la tabla de los que tienen pocos elementos. El grupo de un elemento se reduce al elemento neutro, por lo que es único. Del mismo modo, los de dos y tres elementos quedan determinados sin ambigüedad. Las sorpresas comienzan con cuatro elementos...
El programa de Erlangen
Con motivo de su nombramiento como profesor en la Universidad de Erlangen, en 1872, Felix Klein, con apenas 23 años, presentó un programa de investigación geométrica conocido desde entonces como «Programa de Erlangen». En el centro de este programa se encuentra la noción de grupo.
Los grupos de Lie
Los grupos introducidos por el matemático Sophus Lie se han convertido en herramientas imprescindibles de la física teórica.
El diagrama de Cayley
¿Cómo captar la estructura de un grupo finito de un solo vistazo? ¡El diagrama de Cayley permite responder a esta pregunta!