La revolucionaria aportación de Félix Klein en su conferencia de Erlangen consistió en poner de manifiesto el papel fundamental que desempeña, en el núcleo de cada tipo de geometría, el grupo de transformaciones que actúa sobre sus objetos, así como la búsqueda, mediante este grupo o algunos de sus subgrupos, de los invariantes, esas propiedades de las figuras que las transformaciones no modifican.
La recíproca también es cierta: las propiedades geométricas se caracterizan por su invariancia respecto de determinados grupos de transformaciones.
Klein fundamentará su programa en una jerarquización de estos grupos, encajados unos dentro de otros: el «grupo principal», el de las isometrías, está contenido en el de las semejanzas, que conservan la forma de las figuras; este, a su vez, está contenido en el de las transformaciones afines, que conservan el paralelismo…
Esta correspondencia está en la base de numerosas demostraciones de resultados fundamentales, pero también de la caracterización de las distintas geometrías. Veamos algunos ejemplos.
