Sophus Lie y los grupos de transformaciones continuas
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El noruego Sophus Lie nació en 1842. Su madre murió cuando él tenía 9 años. Pese a su imponente estatura y a una fuerza física poco común, tuvo que renunciar a la carrera militar debido a su deficiente vista. Prosiguió entonces sus estudios científicos en la universidad, donde enseñaba, entre otros, Ludwig Sylow.
Lie descubrió la geometría proyectiva leyendo las obras de Jean-Victor Poncelet (1788–1867) y Julius Plücker (1801–1868). A los 27 años obtuvo una beca para ir a Berlín, donde conoció a Felix Klein. Se hicieron amigos. Viajaron juntos a Göttingen y luego a París. Pero era 1870 y estalló la guerra entre Prusia y Francia. Klein regresó a Berlín. Tras diversas peripecias, Lie volvió a Noruega, donde, después de doctorarse en 1872, obtuvo una plaza de profesor creada expresamente para él. Permaneció allí hasta 1886, año en que partió hacia Leipzig para suceder a Klein, quien, por su parte, se había trasladado a Göttingen.
Muchos estudiantes franceses, en particular de la École normale supérieure, acudirían a Leipzig para estudiar con Lie el concepto de grupo. Él mismo visitaría Francia en varias ocasiones. Afectado por una depresión nerviosa y completamente quebrantado, regresó a Noruega en 1898 para morir al año siguiente.
Tras la introducción de los grupos por Galois en álgebra y por Klein en geometría, Sophus Lie introdujo estas nociones en análisis al crear la teoría de los grupos de transformaciones continuas (hoy grupos de Lie) y todas las técnicas asociadas a ella. La expuso en tres volúmenes publicados entre 1888 y 1893.
Sophus Lie.
En la encrucijada del álgebra y la geometría
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El concepto de grupo de Lie permite asociar dos ideas a priori muy distintas: una estructura algebraica, la de grupo, y una noción de geometría diferencial, la de variedad, que permite hablar de elementos «próximos unos a otros», de variaciones, de análisis infinitesimal… Un conjunto G, provisto de una ley de composición interna \, es un grupo de Lie si (G, \) es un grupo y si, además, se puede dotar a G de una estructura diferencial de modo que las dos operaciones del grupo, a saber, la ley \* y la inversión, sean diferenciables.
Uno de los ejemplos más ilustrativos es el grupo de las rotaciones planas con centro en un punto O dado. Pueden representarse mediante matrices de 2 × 2 del tipo donde θ es un número real cualquiera.
Este conjunto de rotaciones, provisto de la composición de aplicaciones, forma efectivamente un grupo: la composición de dos rotaciones de ángulos θ y θ ’ es la rotación de ángulo θ + θ ’, y la inversión corresponde a tomar la rotación de ángulo – θ. Estas dos operaciones son diferenciables en .
Aplicaciones a la física
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La física de las partículas fundamentales evolucionó a lo largo del siglo 20.º, pero se basa esencialmente en el estudio de las simetrías que presentan estas partículas. Estas simetrías se describen mediante grupos de transformaciones continuas. Es el caso, típicamente, de la mecánica cuántica (por ejemplo, con los trabajos de Hermann Weyl y Eugene Wigner), pero también de la relatividad, a raíz de ciertos trabajos, en particular los de Henri Poincaré (véase nuestro número especial 79) y Hermann Minkowski. De forma un tanto provocadora, puede decirse que la teoría de grupos ha «invadido» la física teórica moderna.
Muy a menudo, los grupos que intervienen en estas distintas teorías son grupos de Lie. Encontramos en ellas los conocidos grupos clásicos: son subgrupos particulares del grupo lineal GL *n (), grupo de las aplicaciones lineales invertibles de , o de GLn*(), su análogo sobre el cuerpo de los números complejos.
Referencias:
• Las ecuaciones de la física moderna. Bibliothèque Tangente 71, 2019.
• Los invariantes. Bibliothèque Tangente 47, 2013.
• Henri Poincaré, en la encrucijada de las ciencias. Número especial 79 de Tangente, 2021.
