Una estructura imprescindible
Es difícil imaginar el álgebra sin la teoría de grupos. Sin embargo, no es sino hasta principios del siglo XIX que el concepto se desarrolla, presente implícitamente en los trabajos de Lagrange, y luego introducido por Galois. Primero limitada a los únicos grupos de permutaciones de un conjunto, la noción se impuso gradualmente en todos los campos de las matemáticas para estudiar no solo los objetos, sino también las relaciones entre ellos. La definición formal de un grupo no aparece sino hasta finales del siglo XIX. Se desarrollan entonces gran cantidad de herramientas para utilizar, catalogar, construir los numerosos ejemplos de esta estructura unificadora que invade las matemáticas… y todas las ciencias. Santo grial definitivo, el teorema de clasificación de los grupos simples finitos todavía tiene repercusiones hoy en día.
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Primeros pasos hacia el concepto de grupo
Joseph-Louis Lagrange se interesó, ya en 1770, por la resolución de ecuaciones polinómicas. Quería saber por qué las ecuaciones de grado 3 y las de grado 4 eran resolubles por radicales. Al hacerlo, se interesó por las permutaciones de las raíces de esas ecuaciones.
La genial aportación de Galois
Tras sus trabajos sobre la resolución de ecuaciones de cuarto grado, Lagrange se planteó la cuestión para el quinto grado. Hubo que esperar a Abel para saber que estas ecuaciones no son resolubles por radicales. Galois dará una condición necesaria y suficiente para que lo sea una ecuación de grado cualquiera. Con ello, funda la teoría de grupos.
Algunos ejemplos de grupos
Los primeros ejemplos de grupos que nos vienen a la mente son los grupos de números. Pero los hay en todos los ámbitos.
Las estructuras cociente
El análisis detallado de la estructura interna de los grupos finitos es de una dificultad formidable. ¿Qué puede decirse de un grupo cualquiera? La idea consiste en buscar, dentro de G, subgrupos que permitan reconstruir G en su totalidad. Para ello, las estructuras cociente son de una eficacia imbatible.
La clasificación de los grupos finitos simples
¿Simples, los grupos finitos? Eso está por ver: la clasificación de los grupos finitos simples, iniciada hace más de cien años, continúa todavía hoy con la redacción de una demostración completa. Esta, comenzada a finales de la década de 1980, debería concluirse en 2025. Pero la tarea es ardua.
Las primeras formalizaciones
La trágica muerte de Évariste Galois confirió un carácter épico a la introducción del concepto de grupo en matemáticas. Menos conocida, la continuación no deja de ser apasionante, con brillantes teoremas como recompensa, que aún hoy se enseñan. Sesenta años después, la noción de grupo quedó por fin establecida.
El monstruo: el mayor grupo esporádico | Tangente
El Monstruo es un grupo con más elementos que átomos hay en la Tierra. Conozcámoslo...