¿Cómo clasificar los grupos? ¿Es siquiera posible y con qué criterios? Para responder a estas legítimas preguntas, primero habrá que examinarlos y comprender su mecánica interna. Pertrechémonos, pues, con el instrumental y las herramientas del algebrista y consideremos un grupo G cualquiera, no necesariamente finito, provisto de una ley que no tiene por qué ser conmutativa y que se anotará de forma multiplicativa. ¿Qué vemos de inmediato en G? Elementos dispersos, que podemos decidir agrupar en subconjuntos. Un subconjunto H de G puede ser a su vez un grupo, con la condición necesaria de contener el elemento neutro e de la ley de composición. Se dice entonces que es un subgrupo de G. ¿Existen relaciones particulares entre los elementos de G, tanto dentro como fuera de H?
¡Qué clase! -----------------
Centremos la atención en un elemento a de G que no pertenezca a H. Entonces, para todo elemento h de H, el producto a.h no pertenece al subgrupo H. En efecto, razonemos por reducción al absurdo y supongamos que a.h está en H. Existe entonces h’ en H tal que a.h = h’. Como H es a su vez un grupo, el inverso h−1 de h también está en H, que además es estable para la ley de composición interna. De ello se deduce que el elemento h’.h−1 está en H. Pero h’.h−1 es igual a a.h.h−1, es decir, a a, que habíamos tomado fuera de H. ¡Contradicción!
Esta observación elemental es la clave que nos abre el camino hacia un intento de organizar los grupos. El conjunto de los elementos de H compuestos por la izquierda con a desempeña un papel importante; lo anotaremos aH. Así, aH = { g ∈\in G, g = a.h, h ∈\in H }. Hemos visto que aH ∩\cap H = ∅\varnothing: la intersección de H y de aH es vacía.
Para familiarizarnos con esta notación, observemos que, para todo elemento h0 de H, se tiene h0H = H, pues H es un grupo. En particular, eH = H.