Grupos y subgrupos normales
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Un grupo es un conjunto G provisto de una ley de composición interna asociativa, con elemento neutro y tal que todo elemento posee un inverso. Entre los grupos, los que tienen un número finito de elementos apasionaron a matemáticos desde la década de 1860, como Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832−1918), Émile Mathieu (1835−1890) o Marie Ennemond Camille Jordan (1838−1922). Pronto se pusieron de manifiesto familias de tales grupos, como el grupo de las congruencias módulo n o el grupo diédrico de las isometrías que dejan invariante un polígono regular de n lados.
Un subgrupo H de un grupo G es un subconjunto que verifica los axiomas de grupo cuando se restringe la ley de composición a sus elementos. Sea un elemento x de G; se denota por xH el conjunto de los elementos de la forma xh, con h en H (del mismo modo, Hx es el conjunto de los elementos hx, con h en H); la ley se escribe aquí multiplicativamente.
Évariste Galois ya había puesto de manifiesto subgrupos que desempeñan un papel particular y que se califican de normales (o distinguidos); son aquellos que, para todo elemento x de G, verifican xH = Hx. Su interés reside en que permiten reducir la estructura de un grupo al estudio de grupos «más pequeños» mediante los llamados grupos cociente.
Así, para estudiar la estructura de los grupos finitos, basta con conocer la de los grupos que no poseen ningún subgrupo distinguido propio (es decir, distinto del propio grupo y no reducido al elemento neutro): se los llama grupos simples.
