Gruppi e sottogruppi normali
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Un gruppo è un insieme G dotato di un’operazione interna associativa, con elemento neutro, tale che ogni elemento abbia un inverso. Tra i gruppi, quelli con un numero finito di elementi appassionarono i matematici fin dagli anni 1860, tra cui Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832−1918), Émile Mathieu (1835−1890) e Marie Ennemond Camille Jordan (1838−1922). Ben presto furono individuate famiglie di gruppi di questo tipo, come il gruppo delle congruenze modulo n o il gruppo diedrale delle isometrie che lasciano invariato un poligono regolare con n lati.
Un sottogruppo H di un gruppo G è un sottoinsieme che soddisfa gli assiomi di gruppo quando l’operazione è ristretta ai suoi elementi. Sia x un elemento di G: con xH si indica l’insieme degli elementi della forma xh, con h in H (analogamente, Hx è l’insieme degli elementi hx, con h in H); qui l’operazione è indicata con la notazione moltiplicativa.
Già Évariste Galois aveva individuato sottogruppi con un ruolo particolare, detti normali (o distinti); sono quelli che, per ogni elemento x di G, soddisfano xH = Hx. Il loro interesse sta nel permettere di ricondurre la struttura di un gruppo allo studio di gruppi «più piccoli», grazie ai cosiddetti gruppi quoziente.
Per studiare la struttura dei gruppi finiti, basta dunque conoscere quella dei gruppi che non possiedono alcun sottogruppo normale proprio (cioè diverso dal gruppo stesso e non ridotto all’elemento neutro): sono detti gruppi semplici.
