Come costruire la più vasta collezione possibile di numeri? A questa domanda John Conway diede la sua risposta partendo da un’idea del matematico statunitense Donald Knuth (nato nel 1938) e ispirandosi alla nozione di taglio introdotta dal tedesco Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916). Quest’ultimo propose di costruire rigorosamente l’insieme dei numeri reali a partire dall’insieme, più agevole da trattare, dei numeri razionali. Il passaggio non è così evidente come può sembrare a prima vista, poiché comporta il passaggio dall’infinito numerabile al continuo. Un taglio nel senso di Dedekind è costituito da due insiemi di numeri, tali che ciascun elemento del primo sia strettamente minore di ogni elemento del secondo. L’esempio classico di taglio di Dedekind è la costruzione del numero . Il primo insieme (A) è quello dei numeri razionali negativi, cui si aggiunge l’insieme di tutti i razionali il cui quadrato è strettamente minore di 2. Il secondo insieme (B) è costituito dall’insieme di tutti i razionali positivi il cui quadrato è maggiore o uguale a due. Dedekind ebbe l’idea di definire un numero reale come la giustapposizione di due insiemi di numeri razionali. Il numero è dunque definito come la coppia di insiemi (A, B). Un’idea simile condurrà John Conway a definire la collezione dei numeri surreali.
Donald Ervin Knuth (nato nel 1938).
Ispirarsi ai tagli
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