Comment construire la collection la plus vaste possible de nombres ? C’est à cette question que John Conway a donné sa réponse en partant d’une idée du mathématicien américain Donald Knuth (né en 1938) et en s’inspirant de la notion de coupure introduite par l’Allemand Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916). Ce dernier proposa de construire rigoureusement l’ensemble des nombres réels en partant de l’ensemble plus facile à gérer des nombres rationnels. Ce passage n’est pas aussi évident qu’il ne peut sembler à première vue puisqu’il implique le passage de l’infini dénombrable à l’infini continu. Une coupure au sens de Dedekind est constituée de deux ensembles de nombres, chaque élément du premier ensemble étant strictement inférieur à tout élément du second ensemble. L’exemple classique de coupure de Dedekind est la construction du nombre . Le premier ensemble (A) est celui des nombres rationnels négatifs auxquels on ajoute l’ensemble de tous les rationnels tels que leur carré est strictement inférieur à 2. Le second ensemble (B) est constitué de l’ensemble de tous les rationnels positifs dont le carré est supérieur ou égal à deux. Dedekind a l’idée de définir un nombre réel comme la juxtaposition de deux ensembles de nombres rationnels. Le nombre est donc défini comme le couple d’ensembles (A, B). C’est une idée similaire qui va conduire John Conway à définir la collection des nombres surréels.
Donald Ervin Knuth (né en 1938).
S’inspirer des coupures
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