Negli anni 1980 si concluse la classificazione dei gruppi semplici finiti, chiamata anche teorema di classificazione o talvolta teorema gigante, o ancora teorema enorme. La dimostrazione era infatti colossale e consisteva in migliaia di pagine pubblicate in diverse centinaia di articoli di riviste, scritti da moltissimi matematici nel corso del XXº secolo. Da allora sono emerse alcune lacune, poi colmate, e sono state apportate semplificazioni: l’attuale dimostrazione, detta di seconda generazione, è tuttora in fase di redazione. È, senza dubbio, la più lunga dimostrazione matematica mai scritta.
Eppure è semplice!
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Che cos’è un gruppo semplice finito? Anzitutto è un gruppo finito, G. Inoltre, G è semplice se non contiene alcun sottogruppo normale non banale (vedi l’articolo « Le strutture quoziente »), ossia diverso da sé stesso e dal sottogruppo ridotto all’elemento neutro {e}. La nozione di gruppo semplice fu introdotta da Évariste Galois nei suoi studi sulla risoluzione per radicali delle equazioni algebriche.
I gruppi , dotati dell’addizione, sono semplici quando p è primo. Infatti, per il teorema di Lagrange, l’ordine di un sottogruppo divide l’ordine del gruppo; di conseguenza, se l’ordine del gruppo è primo, come in questo caso, non vi sono sottogruppi non banali e dunque, a fortiori, nessun sottogruppo normale non banale. In realtà, questi gruppi sono gli unici gruppi semplici finiti di ordine primo. Sono anche gli unici a essere abeliani.
Si possono citare, come esempi di gruppi semplici finiti, anche i gruppi alterni A*n delle permutazioni pari di n elementi per n* ≥ 5; proprio in virtù di questo risultato tali gruppi non sono risolubili (vedi l’articolo « Il geniale contributo di Galois » ) e, di conseguenza, le equazioni polinomiali di grado n ≥ 5 non sono sempre risolubili per radicali. Si può osservare che A2 e A3 sono semplici, mentre A4 non lo è, poiché contiene un sottogruppo normale isomorfo al gruppo di Klein (vedi l’articolo « Il gruppo di Klein e le sue varianti »).
