La classification des groupes finis simples

Dans les années 1980 s’est achevée la classification des groupes finis simples, aussi appelée théorème de classification ou parfois théorème géant ou encore énorme théorème. La démonstration était en effet colossale et consistait en des milliers de pages parues dans plusieurs centaines d’articles de revues écrits par de très nombreux mathématiciens tout au long du XX^e siècle. Depuis, quelques lacunes sont apparues, puis ont été comblées, des simplifications ont été réalisées : l’actuelle démonstration, dite de deuxième génération, est aujourd’hui toujours en cours de rédaction. C’est, de toute évidence, la démonstration mathématique la plus longue jamais écrite.

C’est pourtant simple ! -----------------------

Qu’est-ce qu’un groupe fini simple ? Déjà, c’est d’abord un groupe fini, G. Ensuite, G est simple s’il ne contient aucun sous-groupe distingué non trivial (voir article « Les structures quotients »), c’est-à-dire autre que lui-même et que le sous-groupe restreint à l’élément neutre {e}. Cette notion de groupe simple a été introduite par Évariste Galois dans ses études sur la résolution des équations algébriques par radicaux.

Les groupes $\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}\backslash Bbb\; Z\; /p\backslash Bbb\; Z$, munis de l’addition, sont simples pour p premier. En effet, d’après le théorème de Lagrange, l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe ; en conséquence, si l’ordre du groupe est premier, comme ici, il n’y a pas de sous-groupes non triviaux, donc a fortiori de sous-groupes distingués. En fait, ces groupes sont les seuls groupes simples finis d’ordre premier. Ce sont aussi les seuls qui sont abéliens.

On peut citer aussi, comme exemple de groupes finis simples, les groupes alternés A*_n des permutations paires de n éléments pour n* ≥ 5 ; c’est d’ailleurs en vertu de ce résultat que ces groupes ne sont pas résolubles (voir article « L'apport génial de Galois » ) et que, en conséquence, les équations polynomiales de degré n ≥ 5 ne sont pas toujours résolubles par radicaux. On peut remarquer que A₂ et A₃ sont simples mais que A₄ ne l’est pas, contenant un sous-groupe distingué isomorphe au groupe de Klein (voir article « Le groupe de Klein et ses avatars »).