La risoluzione delle equazioni algebriche ha sempre interessato i matematici. Le tecniche per risolvere quelle di secondo grado erano note, almeno in molti casi particolari, fin dall’Antichità, per esempio presso i Babilonesi e gli Egizi. Per le equazioni di terzo grado, dopo i tentativi dei matematici arabi di risolverle geometricamente o in modo approssimato, occorre attendere il 16º secolo e gli algebristi italiani, come Scipione del Ferro (1465–1526), Niccolò Fontana, detto Tartaglia (1499–1557), e Girolamo Cardano (1501–1576), per disporre di un metodo risolutivo. Quelle di quarto grado seguirono rapidamente, e fu l’italiano Lodovico Ferrari (1522–1565), allievo di Cardano, a proporre, negli anni 1540, un metodo che permette di ricondursi a un’equazione di terzo grado. Due secoli più tardi, nel 1770, Lagrange propose un altro metodo (vedi l’articolo «Primo passo verso il concetto di gruppo») nel quale mise in evidenza il ruolo delle permutazioni definendo quantità ausiliarie, oggi chiamate risolventi di Lagrange. L’equazione così costruita è di terzo grado ed è quindi risolubile per radicali (cioè usando soltanto le quattro operazioni +, ?, ×, / e l’estrazione di radici n-esime), il che consente poi di calcolare le soluzioni dell’equazione iniziale.
E per il quinto grado? --------------------
Si pone allora una domanda: questi metodi permetteranno di risolvere le equazioni di quinto grado? Nel 1800, dopo aver fornito una prima dimostrazione (incompleta) del teorema fondamentale dell’algebra, secondo il quale ogni equazione polinomiale ammette almeno una radice complessa (il che implica che un’equazione di grado n possiede n soluzioni complesse), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) espresse dubbi sulla risoluzione per radicali delle equazioni di quinto grado, senza però dimostrarne l’impossibilità. Fu l’italiano Paolo Ruffini (1765–1822), medico e matematico, a pubblicare, a partire dal 1799, diverse dimostrazioni di questa impossibilità. Tutti i suoi tentativi si fondano sullo studio delle permutazioni delle soluzioni e sull’impossibilità di formare un’equazione ausiliaria di grado inferiore a 5. A tale scopo compone permutazioni e introduce la nozione di ordine di una permutazione: tutte tecniche caratteristiche della nozione di gruppo. Ma le sue dimostrazioni, molto lunghe, presentano lacune e Ruffini fatica a ottenere il riconoscimento. Solo Augustin Louis Cauchy (1789–1857) attinse dal lavoro di Ruffini per i suoi studi sulle permutazioni, pubblicati tra il 1813 e il 1815.
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