Sono noti due metodi per dimostrare l’impossibilità di risolvere l’equazione algebrica generale di quinto grado: quello proposto da Abel nel 1824, precisato nel 1826, e quello di Galois nel 1829–1830. La teoria di Galois è abbastanza nota, mentre le idee di Abel sono illustrate più di rado.
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Galois lesse Legendre e Lagrange da adolescente, poi Gauss e Cauchy. Cita spesso questi ultimi due, ma molto poco Lagrange. Galois fu chiaramente influenzato dalle idee del matematico più anziano; seppe tuttavia spingersi molto oltre, avvalendosi di tutti i progressi compiuti a partire dal 1771.
Dopo i suoi lavori sulla ricerca delle soluzioni di un’equazione di quarto grado, Lagrange si pose la questione per il quinto grado. Bisognerà attendere Abel per sapere che queste equazioni non sono risolubili per radicali. Galois fornirà una condizione necessaria e sufficiente affinché lo sia un’equazione di grado qualunque. Così facendo, fonda la teoria dei gruppi.
Non essendosi occupato direttamente della risoluzione delle equazioni algebriche, Augustin-Louis Cauchy è una figura dimenticata nella storia della teoria dei gruppi. I suoi lavori sulle permutazioni fornirono tuttavia preziosi strumenti a quanti si occuparono della teoria di Galois.
Conosciamo bene Cauchy come specialista dell’analisi, molto meno come algebrista. Il contributo di Cauchy alla teoria dei gruppi rimase a lungo misconosciuto, sebbene i suoi lavori sulle strutture algebriche abbiano avuto grande importanza.
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