Gli ingredienti di base della teoria di Galois

Teoria di Galois: che cos’è esattamente? ---------------------------------------

Quando ci si trova di fronte a un’equazione polinomiale, il primo riflesso è cercare se esistano soluzioni, così da poterla poi fattorizzare. Per esempio, si può verificare che 2 e ‒3 soddisfano *x ² + x ‒ 6 = 0; si può allora scrivere *x ² + x ‒ 6 = (x ‒ 2)(x + 3). Ma che cosa fare se l’equazione non ammette alcuna radice?

L’idea è definire un insieme di numeri «più grande» in modo che uno dei suoi nuovi elementi soddisfi l’equazione.

Così, per l’equazione *x ² + 1 = 0 nell’insieme ℝ dei numeri reali, si costruisce l’insieme ℂ dei numeri complessi (vedi a fianco). Ma come si possono aggiungere dei numeri? Qui entra in gioco la nozione di campo, cioè di insieme dotato di un’addizione e di una moltiplicazione che soddisfano le consuete proprietà dell’aritmetica. Gli esempi migliori sono naturalmente ℝ, ℂ e anche ℚ, l’insieme dei numeri razionali (le frazioni). Ma ce ne sono molti altri! Dati un campo e un’equazione polinomiale priva di soluzioni in quel campo, la teoria di Galois consente di costruire un campo «più grande», detto estensione, «il più piccolo possibile», nel quale l’equazione possiede una radice o, meglio ancora, si fattorizza completamente.

Il gruppo di Galois -------------------