Uno dei più antichi problemi della matematica è quello della quadratura del cerchio: costruire un quadrato che abbia la stessa area dell’interno di un cerchio. Un altro celebre problema è quello della duplicazione del cubo. In entrambi i casi, si tratta di costruire con riga e compasso un numero dato: π oppure .
Sorge allora spontanea una domanda: quali sono i numeri che si possono «costruire con riga e compasso»? La risposta fu data soltanto nel 19º secolo.
Un po’ di storia
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Che cos’è un numero? Nell’antichità si confondevano numero e misura. Ne derivavano alcune difficoltà: come definire il «prodotto» di due numeri? Rappresentando il prodotto di due numeri (misure), si ottiene un’area; dal prodotto di tre numeri, un volume; e… qualcosa di strano se si moltiplicano due aree! Quanto al quoziente di due numeri, può essere una misura (il quoziente di un’area per una lunghezza), oppure un numero privo di dimensione, se entrambi i numeri sono lunghezze.
Bisogna attendere René Descartes e la sua celebre Géométrie, del 1637, perché il numero entrasse nella geometria, grazie a un’idea semplicissima ma geniale: il matematico e filosofo francese scelse un segmento, gli assegnò lunghezza 1 e riferì poi a questa misura campione le altre misure (lunghezze, aree, volumi…). Così, «costruire» un numero significa costruire un segmento la cui lunghezza sia quel numero. Poi Cartesio introdusse, quasi di soppiatto, le coordinate oggi dette cartesiane, per «rappresentare algebricamente» un punto del piano mediante due numeri.
