Uno de los problemas más antiguos de las matemáticas es la cuadratura del círculo: construir un cuadrado con la misma área que el interior de un círculo. Otro problema célebre es el de la duplicación del cubo. En cada caso, se trata de construir con regla y compás un número dado: π o .
Surge entonces una pregunta natural: ¿qué números se pueden «construir con regla y compás»? La respuesta no llegó hasta el 19.º siglo.
Un poco de historia
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¿Qué es un número? En la Antigüedad se confundían el número y la medida. Como consecuencia, surgían dificultades: ¿cómo definir el «producto» de dos números? Si representamos el producto de dos números (medidas), obtenemos un área; un volumen, para el producto de tres números; y… ¡algo extraño si multiplicamos dos áreas! En cuanto al cociente de dos números, puede ser una medida —el cociente de un área por una longitud— o un número sin dimensión si ambos números son longitudes.
Hubo que esperar a René Descartes y a su célebre Géométrie, en 1637, para que el número se introdujera en la geometría, con una idea muy sencilla pero genial: el matemático y filósofo francés elige un segmento al que asigna longitud 1 y relaciona después las medidas (longitudes, áreas, volúmenes…) con esa medida patrón. Así, «construir» un número consiste en construir un segmento cuya longitud sea ese número. Después, Descartes introduce, casi subrepticiamente, las coordenadas hoy llamadas cartesianas para «representar algebraicamente» un punto del plano mediante dos números.
