Los babilonios ya sabían calcular, entre 1800 y 1600 antes de nuestra era, la longitud de la diagonal de un cuadrado conociendo su lado; también los matemáticos indios del 6.º siglo antes de nuestra era. La verdadera cuestión acerca de la naturaleza de la razón entre la diagonal y el lado, 2,\sqrt{2}, en nuestra notación, se planteó entre los geómetras griegos: ¿es racional, es decir, cociente de dos números enteros?
√2, ¡el rebelde! ----------------
Fueron probablemente los pitagóricos, para quienes «todo es número», quienes demostraron que el número en cuestión se resistía a toda expresión en forma de fracción: este número es irracional.
Debemos la revelación de este descubrimiento, en 530 antes de nuestra era, al discípulo de Pitágoras Hipaso de Metaponto, quien «fue el primero en sacar del misterio la consideración de lo irracional», según el filósofo Proclo (412‒485).
Aunque, como Aristóteles, se puede demostrar por reducción al absurdo que 2\sqrt{2} no es racional, los pitagóricos privilegiaron para ello los argumentos geométricos, restando, por ejemplo, el lado de un cuadrado a su diagonal. En efecto, si la diagonal de un cuadrado de lado 29 fuera igual a 41, es decir, si 2\sqrt{2} fuera igual a 4129≃1,413793…,\dfrac{41}{29} \simeq 1,413793 \dots, entonces, dado que los triángulos coloreados tienen la misma forma, también tendríamos 2=1712≃1,416666…\sqrt{2} = \dfrac{17}{12} \simeq 1,416666 \dots ¡Qué contradicción!